Question

已知=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2sinωxcosωx
=cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+）（4分）
∵f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于，
∴，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+）．（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴sin（2A+）=，
∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，解得A=．（8分）
∵b+c=4，∴S_△ABC=bcsinA=bc≤=（10分）
当且仅当b=c=2等号成立，故S_△ABC面积最大值为．（12分）
分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算和条件列出解析式，根据倍角公式和两角和的正弦公式进行化简，由两个相邻的对称轴之间的距离是周期的一半，求出ω的值；
（Ⅱ）根据f（A）=1和A的范围，求出A的值，代入三角形面积公式S_△ABC=bcsinA，根据b+c=4和基本不等式求出面积的最大值，注意等号成立的条件是否取到．
点评：本题的考点是三角函数解析式的求法以及基本不等式的应用，应先对解析式化简再把条件代入，利用知识点有倍角公式和两角和的正弦公式，正弦函数的性质，以及利用基本不等式求最值问题，注意等号成立的条件．