Question

如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，.
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)设．
(ⅰ) 若直线与平面所成的角为，求线段的长；
(ⅱ) 在线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ，不存在点.

试题分析：(Ⅰ)先证明线面垂直平面,再证明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐标系，设平面的法向量为，利用两向量垂直，，列表达式，求出法向量，再由直线与平面所成的角为，得出法向量中的参量；先设存在点，找出的坐标，利用距离相等，列出表达式，看方程是否有根来判断是否存在点.
试题解析：解法一：
(Ⅰ)证明：因为平面，平面，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以平面⊥平面.                 3分
(Ⅱ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，则.
在中，，
.
设，则，．
由得，
所以，，，
，．                 5分
(ⅰ)设平面的法向量为．
由，，得
取，得平面的一个法向量．
又，故由直线与平面所成的角为得
，即.
解得或 (舍去，因为)，所以.          7分
(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．
设 (其中)．
则，，
．
由，得，
即；①
由，得. ②
由①、②消去，化简得. ③
由于方程③没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等．
从而，在线段上不存在一个点，
使得点到点的距离都相等．              12分
解法二：
(Ⅰ)同解法一：
(Ⅱ)(ⅰ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，
则，
在中，
，
.
设，则，．
由得.
所以，，，
，．                 5分
设平面的法向量为．
由，，得
取，得平面的一个法向量．
又，故由直线与平面所成的角为得
，即.
解得或 (舍去，因为)，所以.          7分
(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．

由 ，得，
从而，即，
所以.
设，则，.
在中，
，这与矛盾．
所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等．
从而，在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等