Question

已知y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间．（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）根据当x＜0时，f（x）=-f（-x）根据x＞0时，f（x）=x²-2x+1，得到x＜0时函数的解析式，最后综合即可得到f（x）的解析式；
（2）根据分段函数的性质，以及二次函数的性质可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）+1=x²+2x+1…（3分）
∵y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x+1
∴f（x）=-x²-2x-1，x＜0…（6分）
∴f(x)=

x2-2x+1，x＞0 -x2-2x-1，x＜0.

…（8分）
（2）x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-2x-1在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减
x∈（0，+∞）时，f（x）=x²-2x+1，在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1]，（1，+∞）…（10分）
单调递减区间是[-1，0），（0，1]…（12分）

点评：本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性的性质和单调性，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．