Question

如图所示，水渠横断面为等腰梯形．

(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意，侧边BC＝h·(sinΦ)－1，设下底AB＝x， 　　则上底CD＝x＋2hcotΦ， 　　又s＝(2x＋2hcotΦ)h＝(x＋hcotΦ)h， 　　∴下底x＝－hcotΦ， 　　∴横断面被水浸湿周长 　　l＝＋(－hcotΦ)＝－＋(0＜Φ＜)． 　　∴Φ＝． 　　令Φ＝0，解得cosΦ＝， 　　∴Φ＝． 　　根据实际问题的意义，当Φ＝时，水渠横断面被水浸湿的周长最小． 　　(2)设水渠高为h，水流横断面积为S，则 　　S＝(a＋a＋2acosΦ)·h＝(2a＋2acosΦ)·acosΦ 　　＝a2(1＋cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜)． 　　∴＝a2[－sin2Φ＋(1＋cosΦ)cosΦ]＝a2(2cosΦ－1)(cosΦ＋1)． 　　令＝0，得cosΦ＝或cosΦ＝－1(舍)， 　　故在(0，)内，当Φ＝时，水流横断面积最大， 　　最大值为S＝a2(1＋cos)sin＝． 　　分析：分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．