Question

如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E。

（1）证明：PA⊥BD；
（2）点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM，并证明；
（3）判断平面PAD与平面PAB是否垂直，并证明你的结论。

Answer 1

（1）证明：∵PB=PC，且O是BC的中点， ∴PO⊥BC， 又∵平面PBC⊥平面 ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC， ∴PO⊥平面ABCD， ∵BD平面ABCD， ∴PO⊥BD， 在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD， ∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA= 90°，即AO⊥BD， 又∵PO∩AO=O， ∴BD⊥平面PAO， ∵PA平面PAO， ∴PA⊥BD。
（2）解：当点M为PA的中点时符合题意。 下面证明这个结论： 连接BM、DM，由于AB=PB，则PA⊥BM， 又PA⊥BD，所以PA⊥平面BDM。 故当点M为PA中点时PA⊥平面BDM。 （3）解：平面PAD⊥平面PAB， 下面证明这个结论： 取PB的中点N，连接CN， ∵PC=BC， ∴CN⊥PB，    ① ∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD， ∴AB⊥平面PBC，AB平面PAB， ∴平面PBC⊥平面PAB，      ② 由①，②可知，CN⊥平面PAB， 连接MN，则由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形， ∴CN∥DM，DM⊥平面PAB。