Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA．
（I）当k=1时，求证PA⊥B₁C；
（II）当k为何值时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为 ，并求此时二面角A﹣PC﹣B的余弦值．  

Answer 1

解：以点B为坐标原点，分别以直线BA、BC、BB₁为x轴、y轴建立空间直角坐标系Oxyz．（I）设AB=2，则AB=BC=PA=2
根据题意得： 
所以 ．
∵ ，∴PA⊥B₁C．
（II）设AB=2，则 ，
根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0），
又因为 ，
所以 ，
∴ ，
∴  ，
∵AB⊥平面B1C，
所以由题意得 ，即 ，即 ，
∵k＞0，解得k= ．
即 时，直线PA与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为 
∵B₁P⊥面APC，∴平面APC的法向量 
设平面BPC的一个法向量为 ，
∵  由 ，得 ， ∴ 
所以此时二面角A﹣PC﹣B的余弦值是