Question

已知函数f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），x∈R．求：
（1）函数f（x）的最值及此时自变量x的取值．
（2）求函数f（x）的单调增区间和减区间．
（3）求函数f（x）的对称轴方程和对称中心．

Answer 1

分析：（1）整体思维，利用正弦函数的最值，可求函数f（x）的最值及此时自变量x的取值．
（2）利用正弦函数的单调区间，可求函数f（x）的单调增区间和减区间．
（3）利用正弦函数的对称轴方程和对称中心，可求函数f（x）的对称轴方程和对称中心．

解答：解：（1）∵f（x）=3sin（

1

2

x+

π

4

），
∴当

x

2

+

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=

π

2

+4kπ（k∈Z）时，取得f（x）_max=3；
当

1

2

x+

π

4

=

3π

2

+2kπ（k∈Z），即x=

5

2

π+4kπ（k∈Z）时，取得f（x）_min=-3；
（2）由（

1

2

x+

π

4

）∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，
可得函数f（x）的单调增区间为[-

3π

2

+4kπ，

π

2

+4kπ]（k∈Z）；
由（

1

2

x+

π

4

）∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，
可得函数f（x）的单调减区间为[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]（k∈Z）；
（3）由

1

2

x+

π

4

=

π

2

+kπ，
可得函数f（x）的对称轴方程为x=

π

2

+2kπ（k∈Z）；
由

1

2

x+

π

4

=kπ，
可得函数f（x）的对称中心为（-

π

2

+2kπ，0）（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数的性质，考查整体思维，考查学生的计算能力，正确掌握正弦函数的性质是关键．