Question

椭圆C:=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁、F₂,点P在椭圆C上,且PF₁⊥F₁F₂,|PF₁|=,|PF₂|=.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程.

Answer 1

解法一:(1)因为点P在椭圆C上,所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6,a=3.

在Rt△PF₁F₂中,|F₁F₂|==2,故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²-c²=4,所以椭圆C的方程为=1.

(2)设A、B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).

已知圆的方程为(x+2)²+(y-1)²=5,所以圆心M的坐标为(-2,1),

从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得(4+9k²)x²+(36k²+18k)x+36k²+36k-27=0.

因为A、B关于点M对称,所以==-2,解得k=.

所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意)

解法二:(1)同解法一.(2)已知圆的方程为(x+2)²+(y-1)²=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).

设A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂).由题意x₁≠x₂且=1,①

=1.②

由①-②,得=0.③

因为A、B关于点M对称,所以x₁+x₂=-4,y₁+y₂=2.代入③得,即直线l的斜率为,

所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意).