Question

已知函数[x²-2（2a-1）x+8]（a∈R）
（1）若使函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，求a的取值范围；
（2）当a=时，求y=f（），x∈[]的值域．
（3）若关于x的方程f（x）=-1+在[1，3]上有且只有一解，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
∴
∴；
（2）当a=时，
∴y=f（）=，
∵x∈[]，∴≤≤，∴-≤sin（）≤1
∴函数的值域为[]；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即，x∈[1，3]，由双勾图形可知：或4a=，
即或a=．
分析：（1）利用函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，建立不等式组，即可求a的取值范围；
（2）确定y=f（），结合三角函数、对数函数的性质，即可求函数的值域；
（3）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即，x∈[1，3]，根据在[1，3]上有且只有一解，即可得出结论．
点评：本题考查函数的单调性，函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．