Question

(理)在棱长为2的斜三棱柱ABC－DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O，AB＝AE，连结AO．

(Ⅰ)求证：AO⊥平面FEBC；

(Ⅱ)求二面角B－AC－E的余弦值的大小；

(Ⅲ)求三棱锥B－DEF的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：∵是菱形， 　　∴⊥．　1分 　　又∵⊥，且 　　∴⊥平面，　3分 　　而AO平面 　　∴⊥ 　　∵，　∴ 　　∴⊥，且 　　∴⊥平面．　4分 　　(Ⅱ)　取的中点，连结、 　　∵△是等边三角形　∴⊥ 　　∵⊥平面　∴是在平面上的射影，∴由三垂线定理逆定理．可得 　　∴是二面角的平面角　6分 　　≌Rt，则，∴四边形为正方形． 　　在直角三角形中，，　∴＝＝ 　　∴　8分 　　(Ⅱ)另解：由(Ⅰ)易证≌Rt，则， 　　∴四边形为正方形．以为原点，所在直线为轴，FB所在直线为轴，OA所在直线为轴，建立空间直角坐标系(如图)，则A(0，0，)，B(0，，0)，C(－，0，0)，＝(0，，－)，＝(－，0，－)　6分 　　设＝()为平面的法向量，则 　　∴，取＝(－1，1，1)为平面的一个法向量． 　　而＝(0，，0)为平面的一个法向量．设为与的夹角，则＝＝ 　　∴　8分 　　(Ⅲ)∥，　∥平面 　　∴点、到面的距离相等　9分 　　 　　　12分