Question

已知函数f(x)=x²+2x，g(x)=-x²+2x。
（1）解不等式：g(x)≥f(x)-|x-1|；
（2）若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；
（3）若g(x)≤m²-2mp+1对所有x∈R，p∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（1）g(x)≥f(x)-|x-1|-x²+2x≥x²+2x-|x-1|-2x²+|x-1|≥0，
或，
解得：x∈[-1，]。
（2）h(x)=g(x)-λf(x)+1=-x²+2x-λ(x²+2x)+1=-(λ+1)x²+2(1-λ)x+1，在[-1，1]单调递增，
①λ+1=0，∴λ=-1时，h(x)=4x+1单调递增；
②λ+1≠0时，对轴称，
 ，解得：λ＜-1
或，解得：-1＜λ≤0，
∴λ≤0。
（3）g(x)=-x²+2x≤m²-2mp+1，对x∈R，p∈[-1，1]恒成立
m²-2mp+1≥(-x²+2x)_max=-((x-1)²+1)_max=1
m²-2mp≥0，
令f(p)=-2mp+m²，
则或，
∴。