Question

6．若关于x的方程sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为[-$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 由题意可知g（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x与直线y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上两个交点，结合正弦函数的图象和性质可得k的取值范围．

解答 解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$） 与直线y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上两个交点．
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，故2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
令2x+$\frac{π}{3}$=t，则t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=k在[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]上有两个交点，
要使的两个函数图形有两个交点必须使得-$\sqrt{3}$≤k＜2，
故答案为：[-$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．