Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁，a₂，a₃是(1+

1

2

x)m展开式的前三项的系数．
（Ⅰ）求(1+

1

2

x)m展开式的中间项；
（Ⅱ）当n≥2时，试比较

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

与

1

3

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意求得a₁=1，a₂ =

m

2

，a₃ =

m(m-1)

8

，再由数列{a_n}是等差数列，求得得 m=8．再根据二项式定理求得(1+

1

2

x)m展开式的中间项．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a_n=3n-2．求得当n=2或3时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

=

69

140

＞

1

3

，猜测：当n≥2时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

＞

1

3

，并用数学归纳法进行证明．

解答：解：（Ⅰ）∵(1+

1

2

x)m=1+

C

1 m

（

1

2

x）+

C

2 m

•(

1

2

x)2+

C

3 m

•(

1

2

x)3+…+

C

m m

•(

1

2

x)m，
a₁，a₂，a₃是(1+

1

2

x)m展开式的前三项的系数，∴a₁=1，a₂ =

m

2

，a₃ =

m(m-1)

8

．
又数列{a_n}是等差数列，∴2a₂=a₁+a₃，解得 m=8，或m=1（舍去）．
故(1+

1

2

x)m展开式的中间项为 T₅=

C

4 8

•(

1

2

x)4=

35

8

x⁴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，a_n=3n-2．
当n=2时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

=

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

=

1

4

+

1

7

+

1

10

=

69

140

＞

1

3

．
当n=3时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

=

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a9

 
=

1

7

+

1

10

+

1

13

+

1

16

+

1

19

+

1

22

+

1

25

=

1

7

+（

1

16

+

1

16

+

1

16

）+（

1

32

+

1

32

+

1

32

）＞

1

3

．
猜测：当n≥2时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

＞

1

3

．
下面用数学归法证明：
当n=2时，由上可得，结论成立．
假设当n=k时，结论成立，即

1

ak

+

1

ak+1

+

1

ak+2

+…+

1

ak2

＞

1

3

，
则当n=k+1时，

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

=

1

ak+1

+

1

ak+2

+

1

ak+3

+…+

1

a(k+1)2

=（

1

ak

+

1

ak+1

+

1

ak+2

+…+

1

ak2

 ）+（

1

ak2+1

+

1

ak2+2

+…+

1

a(k+1)2

-

1

ak

）
＞

1

3

+（

1

ak2+1

+

1

ak2+2

+…+

1

a(k+1)2

-

1

ak

）＞

1

3

+

2k+1

3(k+1)2-2

-

1

3k-2

 
=

1

3

+

(2k+1)(3k-2)-[3(k+1)2-2]

[3(k+1)2-2]•(3k-2)

=

1

3

+

3k2-7k-3

[3(k+1)2-2]•(3k-2)

．
再由 k≥3 可得 3k²-7k-3＞0，∴

3k2-7k-3

[3(k+1)2-2]•(3k-2)

＞0，
∴

1

ak+1

+

1

ak+2

+

1

ak+3

+…+

1

a(k+1)2

＞

1

3

，
由此可得，当n≥2时，试比较

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

＞

1

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，用数学归纳法证明不等式，注意利用假设，证明n=k+1时，不等式成立，是解题的关键和难点，属于中档题．