Question

（21）如图，在五棱锥S－ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2,BC=DE=,

∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.

（Ⅰ）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）证明BC⊥平面SAB；

（Ⅲ）用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小（本小问不必写出解答过程）

Answer 1

（21）解法一：（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

则∠DCF=∠CDF=60°，

∴△CDF为正三角形，∴CF=DF。

又BC=DE，∴BF=EF。

因此，△BFE为正三角形，

∴∠FBE=∠FCD=60°，

∴BE//CD，

所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。

∵SA⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2，

∴SB=2，同理SE=2。

又∠BAE=120°，所以BE=2.从而cos∠SBE=，

∴∠SBE=arccos.

所以异面直线CD与SB所成的角为arccos.

（Ⅱ）由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°，

所以∠ABE=30°，又∠FBE=60°，

∴∠ABC=90°，所以BC⊥BA。

∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，

∴SA⊥BC，又SA∩BA=A，

∴BC⊥平面SAB。

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小为π－arccos.

解法二（向量解法）：

（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60°，

∴△CDF为正三角形，∴CF=DF。

又BC=DE，∴BF=EF。

故△BFE为正三角形。

因为△ABE是等腰三角形，且∠BAE=120°，∴∠ABC=90°.

以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系（如图），则

A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），

且C（2，，0），D（，0），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

于是=（－），

=（－2，0，2），则

cos<，>=

                 

=，

∴<，>=arccos，

∴异面直线CD与SB所成的角为arccos.

（Ⅱ）∵=（0，，0），=（2，0，0），

=（0，0，－2），

∴·=（0，3，0）·（2，0，0）=0，

·=（0，3，0）·（0，0，－2）=0，

∴BC⊥AB，BC⊥SA。

∵AB∩SA=A，

∴BC⊥平面SAB。

（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小为π－arccos。