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    已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x．
    （1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
    （2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
    （3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率？请写出判断过程．
    分析：（1）由g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），知g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，由此能求出g（x）的值域T．
    （2）则由（1）可得t∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
    故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．
    （3）kAB=
    y1-y2
    x1-x2
    =
    a(x1-x2)
    x1-x2
    =a-
    lnx1-lnx2
    x1-x2
    ，而f′(x0) =f′(
    x1+x2
    2
    )    =a-
    2
    x1+x2
    ，ln
    x1
    x2
    =
    2(x1-x2)
    x1+x2
    =
    2(
    x1
    x2
    -1)
    x1
    x2
    +1
    ，由此能推导出函数f（x）图象上是不存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率．
    解答：解：（1）∵g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），
    ∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，
    且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e，
    ∴g（x）的值域T为（0，1]．
    （2）则由（1）可得t∈（0，1]，
    原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
    故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
    ∵f′(x)=a-
    1
    x
    ，（1≤x≤e），
    1
    x
    ∈[
    1
    e
    ，1]    ，
    当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．
    当a≤
    1
    e
    时，f′（x）＜0，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意．
    当1＜
    1
    a
    ＜e    ，即
    1
    e
    ＜a＜1    时，f（x）在区间[1，
    1
    a
    ]上单调递减；f（x）在区间[
    1
    a
    ，e    ]上单递增，
    由上可得a∈（
    1
    e
    ，1    ），此时必有f（x）的最小值小于等于0，
    且f（x）的最大值大于等于1，
    而由f（x）min=f（
    1
    a
    ）=2+lna≤0，
    可得a≤
    1
    e2
    ，则a∈∅．
    综上，满足条件的a不存在．
    （3）kAB=
    y1-y2
    x1-x2
    =
    a(x1-x2)
    x1-x2

    =
    a(x1-x2)-(lnx1-lnx2)
    x1-x2

    =a-
    lnx1-lnx2
    x1-x2
    ，
    而f′(x0) =f′(
    x1+x2
    2
    )    =a-
    2
    x1+x2
    ，
    故有
    lnx1-lnx2
    x1-x2
    =
    2
    x1+x2
    ，
    即ln
    x1
    x2
    =
    2(x1-x2)
    x1+x2
    =
    2(
    x1
    x2
    -1)
    x1
    x2
    +1
    ，
    令t=
    x1
    x2
    ∈(0，1)    ，
    则上式化为lnt+
    4
    t+1
    -2=0    ，
    令F（t）=lnt+
    4
    t+1
    -2，
    则由F′(t)=
    1
    t
    -
    4
    (t+1)2
    =
    (t-1)2
    t(t+1)
    ＞0，
    可得F（t）在（0，1）上单调递增，
    故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+
    4
    t+1
    -2=0    无解，
    所以函数f（x）图象上是不存在两点A（x1，y1）和B（x2，y2），
    使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x0，y0）处切线的斜率．
    点评：本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．
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    1
    2
     ， 2])
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    1
    4
    )    时，求f（x）的最大值；
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