Question

设x₁、x₂(x₁≠x₂)是函数f(x)＝ax³＋bx－a²x(a＞0)的两个极值点．

(1)若x₁＝－1，x₂＝2，求函数f(x)的解析式；

(2)若，求b的最大值．

(3)若x₁＜x＜x₂，且x₂＝a，函数，

求证：．

Answer 1

答案：
解析：

解：……1分 　　(1)∵x1＝－1，x2＝2是函数f(x)的两个极值点， 　　∴，．……2分 　　∴3a－2b－a2＝0，12a＋4b－a2＝0，解得a＝6，b＝－9．……3分 　　∴f(x)＝6x3－9x2－36x．……4分 　　(2)∵x1，x2是函数f(x)的两个极值点，∴． 　　∴x1，x2是方程3ax2＋2bx－a2＝0的两根． 　　∵△＝4b2＋12a3，∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．，， 　　∵a＞0，∴x1·x2＜0． 　　∴．……6分 　　由得，∴b2＝3a2(6－a)．……7分 　　∵b2≥0，∴3a2(6－a)≥0，∴0＜a≤6．……8分 　　令h(a)＝3a2(6－a)，则． 　　当0＜a＜4时，，∴h(a)在(0，4)内是增函数； 　　当4＜a＜6时，，∴h(a)在(4，6)内是减函数．……9分 　　∴当a＝4时，h(a)有极大值为96，∴h(a)在上的最大值是96， 　　∴b的最大值是．……10分 　　(3)证法一：∵x1，x2是方程的两根， 　　∴，……11分 　　∴……12分 　　∵x1＜x＜x2，∴x－x1＞0，x－x2＜0， 　　∴． 　　∵，x2＝a，∴． 　　∴．……14分 　　证法二：∵x1，x2是方程的两根， 　　∴，……11分 　　∵，x2＝a，∴． 　　∴ 　　∵x1＜x＜x2， 　　∴……12分 　　 　　．……14分