Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵-1≤sin（2x-

π

6

）-≤1，
∴f（x）的最小值为-2，
又ω=2，
则最小正周期是T=

2π

2

=π；
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，得到sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，∴由正弦定理得b=2a①，又c=

3

，
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
联立①②解得：a=1，b=2．