Question

如图，B，C分别是∠A两边上的动点，在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2，试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简表达式，求出A的大小．
（II）通过余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求出面积的最大值．

解答：解：（I）因为3acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可知3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
即sin（B+C）=3sinAcosA，
在三角形中，B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosA
∴cosA=

1

3

．
（II）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴

2

3

bc=b²+c²-4≥2bc-4
∴bc≤3，
∵cosA=

1

3

∴sinA=

2 2

3

∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

2 2

3

=

2

当且仅b=c=

3

时取等号
∴△ABC面积的最大值是

2

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角形的面积的求法，考查计算能力．