Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过点E（m，0）（m≠0）的直线交抛物线与点M，N，交y轴于点P，若

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，则λ+μ=（　　）

A．1

B．-1

C．2

D．-2

Answer 1

分析：设M，N，P的坐标，由已知的向量等式把M，N的坐标用λ，μ和P的坐标表示，设出过点E（m，0）（m≠0）的直线方程，和抛物线方程联立后写出根与系数关系，结合M点的坐标适合直线方程联立整理即可得到答案．

解答：解：分别设M，N，P的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y₀），由

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ（m-x₁，-y₁），（x₂，y₂-y₀）=μ（m-x₂，-y₂），
可得到x1=

λm

1+λ

，x2=

μm

1+μ

，y1=

y0

1+λ

，y2=

y0

1+μ

，
直线MN的方程为：x=ty+m，
把x1=

λm

1+λ

，y1=

y0

1+λ

，代入x=ty+m得：t=-

m

y0

①
把x=ty+m，代入y²=2px，得y²-2pty-2pm=0．
∴y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm．
∴

y0

1+λ

+

y0

1+μ

=2pt ②

y02

(1+λ)(1+μ)

=-2pm③
联立①②③得λ+μ=-1．
故选B．

点评：本题考查了直线与援锥曲线的综合题，考查了平面向量在解题中的应用，解答此题的关键在于大胆的设出点的坐标及直线方程，灵活运用已知条件列式消去未知量，体现了整体运算思想，是难题．