Question

(08年石景山区统一测试)（14分）

过点的直线与双曲线：交于、两点，且  ．

 （Ⅰ）求直线的方程；

 （Ⅱ）过线段上的点作曲线的切线，求切点横坐标的取值范围；

 （Ⅲ）若过的另一直线与双曲线交于、两点，且，则

       一定成立吗？证明你的结论．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意, 直线的斜率一定存在，可设直线的方程为，

        则由 得．

    设，，由，知为中点，

    所以．                 ……………………………3分

        由，得．

        所以直线的方程为．               ……………………………5分

（Ⅱ）由，得．

     设（，）为曲线上一点，

     过（，）的切线方程为，

     即．          

     与方程联立得

    解得.        ……………9分

    又由解得、.         …………………………10分

    ∴  .

    故 .                  ……………………………11分

 

 

（Ⅲ）一定成立．

    由点和直线得：．

 联立方程组

 得 （，），（，）．

                                                  ……………………………12分

     所以，即．由对称性可知，.

     所以、、、四点共圆，所以. ……………………14分