Question

设a_n是(2-

x

)n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），则极限

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

 

．

Answer 1

分析：根据已知条件求出 a_n=n（n-1）2^n-3，用裂项法求

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

的和，再用数列极限的运算法则求得

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

) 的运算结果．

解答：解：(2-

x

)n的展开式通项公式T_r+1=

C

r n

2n-r(-

x

)r，令r=2 可得
T₃=C_n²2^n-2x，∴a_n =C_n²2^n-2=n（n-1）2^n-3．
∴

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

=

23

1×2

+

23

2×3

+…+

23

(n-1)n

 
=2³ （1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

 ）=8×（1-

1

n

）．
∴

lim

n→∞

(

22

a2

+

23

a3

+…+

2n

an

)=

lim

n→∞

8× (1-

1

n

)=8，
故答案为：8．

点评：本题考查求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，数列极限的运算法则的应用，属于难题．