Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0； ②对任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；　③．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若f（2）=2，且x满足，求函数的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）令x=0，y=2，得：f（0）=[f（0）]²，∵f（0）＞0，∴f（0）=1．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，设，，则p₁＜p₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（）-f（）=
∵，p₁＜p₂，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是单调增函数；
（3）由（2）及知，，
又f（2log₂x）===x，
于是y=2x+=2（x+）在[，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
f（）=3，f，2）=，因此最大值为x=2时，y=，最小值为x=时，y=2
综上所述，的最大值为，，最小值为2
分析：（1）令x=0，y=2，代入可得答案；
（2）设，，作差后由函数的性质可判单调性；
（3）由（2）及已知条件化简所给函数，由函数的单调性可得最值．
点评：本题为抽象函数的综合应用，涉及函数的单调性和最值，属中档题．