Question

如下图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，设M、N分别为棱A₁B₁、A₁D₁的中点，E、F分别为棱B₁C₁、C₁D₁的中点，求证：

(1)E、F、B、D四点共面；

(2)面AMN∥面EFDB．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵E、F分别为棱B1C1、C1D1的中点， 　　∴EF∥D1B1．∵DB∥D1B1，∴EF∥DB． 　　∴E、F、B、D四点共面． 　　(2)∵M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点， 　　∴MN∥D1B1．∵EF∥D1B1，∴MN∥EF． 　　∴MN∥面DBEF．∵N、E分别为棱A1D1、B1C1的中点， 　　∴NE∥AB．∵NE＝AB， 　　∴四边形NEBA是平行四边形． 　　∴AN∥BE．∴AN∥面DBEF． 　　∵MN和AN是面AMN中的两条相交线， 　　∴面AMN∥面EFDB．

提示：

(1)证明E、F、B、D四点共面只要证EF∥DB．(2)欲证面面平行，需证线面平行；欲证线面平行，只需线线平行．将证明面AMN∥面EFDB的问题转化为证明面AMN相交的两条直线AN、MN分别平行于面EFDB内的两条相交直线BE、EF的问题．