Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x-

3

y-4=0相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆O的半径为r，由圆心为原点（0，0），根据已知直线与圆O相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到已知直线的距离d，即为圆的半径r，由圆心和半径写出圆O的标准方程即可；
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形．理由为：
法1：由直线l与圆O相交，得到圆心到直线l的距离d小于圆的半径r，利用关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，利用菱形的性质得到对角线OM与AB垂直且平分，可得出圆心O到直线l的距离d等于|OM|的一半，即为半径的一半，根据半径求出d的值，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范围中检验，满足条件，故存在点M，使得四边形OAMB为菱形；
法2：记OM与AB交于点C（x₀，y₀），由菱形的对角线互相垂直，根据直线l的斜率为k（k不为0），利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线OM的斜率，确定出直线OM的方程，将直线OM的方程与直线l方程联立组成方程组，求出方程组的解表示出x₀与y₀，确定出M的坐标，将M的坐标代入圆O的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，经检验满足条件，故存在点M，使得四边形OAMB为菱形．

解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设圆O的半径为r，圆心为（0，0），
∵直线x-

3

y-4=0与圆O相切，
∴d=r=

|0- 3 ×0-4|

1+3

=2，…（3分）
则圆O的方程为x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圆O上存在一点M，使得四边形OAMB为菱形，理由为：
法1：∵直线l：y=kx+3与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=

3

1+k2

＜r=2，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，…（7分）
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，…（8分）
则OM与AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圆心O到直线l：y=kx+3的距离d=

1

2

|OM|=1，…（10分）
即d=

3

1+k2

=1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形；…（13分）
法2：记OM与AB交于点C（x₀，y₀），
∵直线l斜率为k，显然k≠0，
∴OM直线方程为y=-

1

k

x，…（7分）
将直线l与直线OM联立得：

y=kx+3 y=- 1 k x

，
解得：

x0= -3k k2+1 y0= 3 k2+1

，
∴点M坐标为（

-6k

k2+1

，

6

k2+1

），…（9分）
又点M在圆上，将M坐标代入圆方程得：（

-6k

k2+1

）²+（

6

k2+1

）²=4，
解得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，经验证满足条件，…（12分）
则存在点M，使得四边形OAMB为菱形．…（13分）

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线的交点问题，菱形的性质，以及两直线垂直时斜率满足的关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径．