Question

是否存在常数a、b、c使等式1·(n²－1²)＋2(n²－2²)＋…＋n(n²－n²)＝an⁴＋bn²＋c，对一切正整数n成立？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：取n＝1，2，3，得 　　下面证明1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝(n4－n2)对任意正整数n都成立． 　　(1)当n＝1时，由上可知成立． 　　(2)假设当n＝k时等式成立，即1·(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝(k4－k2)成立， 　　则当n＝k＋1时，1·[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2·(k2－22)＋…＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1) 　　＝(k4－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k) 　　＝(k4－k2)＋(2k＋1) 　　＝k(k＋1)[k2－k＋4k＋2] 　　＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2·(k2＋2k) 　　＝(k＋1)2[(k＋1)2－1]． 　　∴当n＝k＋1时等式成立． 　　综上，等式恒成立． 　　思路分析：存在性问题，可通过三个等式解出a、b、c，再证对n∈N*都成立．