Question

17．已知等比数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$．
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：s_n=$\frac{{3-{a_n}}}{2}$
（2）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列b_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过${a_2}=\frac{1}{3}$、q=$\frac{1}{3}$可知首项，进而可得通项、前n项和的表达式，整理即得结论；
（2）通过a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$、对数的性质可知log₃a_n=-n+1，进而计算即得结论．

解答 （1）证明：∵${a_2}=\frac{1}{3}$，q=$\frac{1}{3}$
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，S_n=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴S_n=$\frac{{3-{a_n}}}{2}$；
（2）解：∵a_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=-n+1，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）+n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+n
=-$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．