Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，且3(

a

21

+

a

22

+…+

a

2n

)=(2n+1)(a1+a2+…+an)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=3，猜想a_n=n．
（2）假设n≤k成立，即a_k=k，
下证n=k+1时，
3(

a

21

+

a

22

+…+

a

2k

+

a

2k+1

)=3(

a

21

+

a

22

+…+

a

2k

)+3

a

2k+1

=(2k+1) • 

k(k+1)

2

+3

a

2k+1

=(2k+3)[

k(k+1)

2

+ak+1]
∴由3

a

2k+1

-(2k+3)ak+1-k(k+1)=0，
解得a_k+1=k+1
综上，a_n=n（n∈N^*），