Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段CD的中点分别为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF， 因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45°， 所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE， 又BE平面BCE，BC平面BCE，BE∩BC=B， 所以EF⊥平面BCE。 （Ⅱ）存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE， 取BE的中点N，连接AN，MN， 则MNPC， 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN， 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM∥平面BCE； （Ⅲ）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD， 易知，EA⊥平面ABCD， 作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA。 从而，FG⊥平面ABCD， 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH， 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角， 因为FA=FE，∠AEF=45°， 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°， 设AB=1，则AE=1，AF=，FG=AF·sin∠FAG=， 在Rt△FGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+， GH=BG·sin∠GBH=， 在Rt△FGH中，tan∠FHG=， 故二面角F-BD-A的大小为arctan。