Question

4．若抛物线y=2px²（p＞0）的准线经过双曲线y²-x²=1的一个焦点，则p=$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线y=2px²，先将其方程变形为标准方程x²=$\frac{1}{2p}$y，用p表示其准线方程，结合题意可得-$\frac{1}{8p}$=-$\sqrt{2}$，解可得p的值，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：y²-x²=1，
则其焦点在y轴上，且c=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
则其焦点坐标为（0，±$\sqrt{2}$），
抛物线y=2px²的标准方程为：x²=$\frac{1}{2p}$y，
若p＞0，则其焦点在y轴正半轴上，
则其准线方程为y=-$\frac{1}{8p}$，
又由抛物线y=2px²（p＞0）的准线经过双曲线y²-x²=1的一个焦点，
则有-$\frac{1}{8p}$=-$\sqrt{2}$，解可得p=$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$；
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{16}$．

点评 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的焦点坐标．