Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁

(Ⅰ)证明：AB＝AC

(Ⅱ)设二面角A－BD－C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA． 　　连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE．又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB＝AC． 　　(Ⅱ)作AG⊥BD，垂足为G，连接CG．由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A－BD－C的平面角．由题设知，∠AGC＝60°． 　　设AC＝2，则AG＝．又AB＝2，BC＝，故AF＝． 　　由AB·AD＝AG·BD得2AD＝，解得AD＝． 　　故AD＝AF．又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形． 　　因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD＝A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF． 　　连接AE、DF，设AE∩DF＝H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD． 　　连接CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角． 　　因ADEF为正方形，AD＝，故EH＝1，又EC＝B1C＝2， 　　所以∠ECH＝30°，即B1C与平面BCD所成的角为30°． 　　解法二： 　　(Ⅰ)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A－xyz． 　　设B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，则B1(1，0，2c)，E(，，c)． 　　于是＝(，，0)，＝(－1，b，0)．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，＝0，求得b＝1，所以AB＝AC． 　　(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，c)，故 　　令x＝1，则y＝1，z＝，＝(1，1，)． 　　又平面ABD的法向量＝(0，1，0) 　　由二面角A－BD－C为60°知，＝60°， 　　故°，求得 　　于是， 　　， 　　° 　　所以B1C与平面BCD所成的角为30°