Question

已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

的椭圆过点（

2

，

2

2

）
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂
①求证：m²为定值，并求出此定值；
②求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，设c=

3

k，a=2k，则b=k，椭圆方程为

x2

4k2

+

y2

k2

=1，把点（

2

，

2

2

）代入，得k²=1，由此能求出椭圆方程．
（2）①由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2 =-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．直线OP，OQ的斜率依次为k₁，k₂，4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

，由此解得m2=

1

2

．
②S△OPQ=

1

2

|x1-x2| • |m|=

8k2+1

1+4k2

，令

8k2+1

=t＞1，得S△OPQ=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜1，由此能求出△OPQ面积的取值范围．

解答：解：（1）由题设条件，设c=

3

k，a=2k，则b=k，
∴椭圆方程为

x2

4k2

+

y2

k2

=1，
把点（

2

，

2

2

）代入，得k²=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴x1+x2 =-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
∵直线OP，OQ的斜率依次为k₁，k₂，
∴4k=k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1+m

x1

+

kx2+m

x2

，
∴2kx₁x₂=m（x₁+x₂），由此解得m2=

1

2

，验证△＞0成立．
②S△OPQ=

1

2

|x1-x2| • |m|=

8k2+1

1+4k2

，令

8k2+1

=t＞1，
得S△OPQ=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜1，
∴S_△OPQ∈（0，1）．

点评：本题考查椭圆的方程和求法和直线与椭圆的位置关系的综合运用，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．