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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.

    (1)求证：OM∥平面PAB；
    (2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
    (3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．
    (1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.
    ∵OM?平面PAB，PB?平面PAB，∴OM∥平面PAB.
    (2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
    (3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，
    ∴S菱形ABCD＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.
    ∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.在Rt△PAB中，PB＝ ＝＝.
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    (1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

    (2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，斜四棱柱的底面是矩形，平面⊥平面，分别为的中点.

    求证：
    （1）；（2）∥平面.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动

    （Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;
    （Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
    （Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
    ①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
    ②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
    ③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
    ④若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β.
    其中正确命题的序号是________．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
    ①若，，，则；
    ②若，，则；
    ③ 若，，，则；
    ④ 若，，，则．
    其中错误命题的序号是（  ）
    A．①④B．①③C．②③④D．②③

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是(　　)．
    A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：

    ①平面平面；
    ②当且仅当时，四边形的面积最小；
    ③四边形周长，是单调函数；
    ④四棱锥的体积为常函数；
    以上命题中真命题的序号为           。

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