Question

已知f（n）=（2n+7）·3ⁿ+9，是否存在自然数m，使对任意n∈N^*，都有m整除f（n），如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：由f（1）=36，f（2）=108，f（3）=360，f（4）=1224，猜想f（n）被36整除.

证明：（1）n=1时，猜想显然成立.

（2）设n=k时，f（k）能被36整除，即（2k+7）·3^k+9能被36整除，则当n=k+1时，

f（k+1）=［2（k+1）+7］·3^k+1+9=3［（2k+7）·3^k+9］+18（3^k－1－1）.

由假设3［2（k+7）·3^k+9］能被36整除，而3^k－1－1是偶数，

所以18（3^k－1－1）能被36整除，从而f（k+1）能被36整除.

综上所述，n∈N时，f（n）能被36整除.

由于f（1）=36，故36是整除f（n）的自然数中的最大数.