Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3).

(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;

(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3),

∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0.

因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a.?                        ①

由方程f(x)+6a=0,得

ax²-(2+4a)x+9a=0.                                                             ②

∵方程②有两个相等的根,

∴Δ=［-(2+4a)］²-4a·9a=0,

即5a²-4a-1=0.

解得a=1或a=-.

由于a＜0,舍去a=1.

将a=-代入①得f(x)的解析式f(x)=- x²-.

(2)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-

及a＜0,可得f(x)的最大值为-.

由

解得a＜-2-或-2+＜a＜0.

故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).