Question

(本题满分15分) 四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．

 

 

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．

 

Answer 1

【答案】

方法一：

(Ⅰ) 证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，

 

 

不妨设PA＝2，则，，

，，，．

由，得

，，

，

设平面的法向量=(x，y，z)，则

，，

得 

可取=(，1，2)，于是

，故，又因为FG平面PDC，即//平面．

 

 (Ⅱ) 解：，，

设平面的法向量，则，，

可取，又为平面的法向量．

由，因为tan＝，cos＝，

所以，解得或(舍去)，

故．                         

方法二：

(Ⅰ) 证明：延长交于，连，．得平行四边形，则// ，

 

 

所以．

又，则，

所以//．

因为平面，平面，

所以//平面．     …………6分

(Ⅱ)解：作FM于，作于，连．

则，为二面角的平面角．

，不妨设，则，，

由  得 ，即 ．

【解析】略