Question

13．已知函数f（x）=ln（1+x）（x＞0），g（x）=$\frac{ax}{x+2}$．
（Ⅰ）求f（x）在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）n∈N^*时，比较$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$与f（n）的大小并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）由题意即为ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$＞0在x＞0恒成立，即有a＜$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$在x＞0恒成立，设h（x）=$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$-2=$\frac{（x+2）ln（x+1）-2x}{x}$，x＞0，求出导数，判断单调性，由恒成立思想即可得到a的范围；
（Ⅲ）由u（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$，v（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，求出v（x）的导数，求得单调性，推得当x＞1时，lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，令x=$\frac{k+1}{k-1}$，k∈N*，即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{k+1}{k}-1}{\frac{k+1}{k}+1}$=$\frac{1}{2k+1}$，再由累加法和对数的运算性质，可得ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，（n∈N*），再对a讨论，即可得到所求大小关系．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
可得f（x）在x=0处的切线斜率为1，切点为（0，0），
即有f（x）在x=0处的切线方程为y=x；
（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对x∈（0，+∞）恒成立，
即为ln（1+x）-$\frac{ax}{x+2}$＞0在x＞0恒成立，
即有a＜$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$在x＞0恒成立，
设h（x）=$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$-2=$\frac{（x+2）ln（x+1）-2x}{x}$，x＞0，
由m（x）=（x+2）ln（x+1）-2x的导数为m′（x）=ln（x+1）+$\frac{x+2}{x+1}$-2
=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x＞0，
由n（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x＞0，
可得n′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$＞0，
可得n（x）在（0，+∞）递增，即有n（x）＞n（0）=0，
则m′（x）＞0，m（x）在m（x）在（0，+∞）递增，即有m（x）＞m（0）=0，
即有h（x）＞0恒成立，即$\frac{（x+2）ln（x+1）}{x}$＞2在x＞0恒成立，
则a的范围是（-∞，2]；
（Ⅲ）由u（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$的定义域为（0，+∞），
令v（x）=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1，
则v′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{x（x+1）^{2}}$＞0，
∴v（x）在（0，+∞）为增函数，
当x＞1时，v（x）＞v（1）=0，即u（x）＞1；
当0＜x＜1时，v（x）＜v（1）=0，即u（x）＞1，
当x=1时，v（x）=v（1）=0，即u（1）=1，
当x＞1时，
lnx+$\frac{2}{x+1}$＞1，即lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$，
令x=$\frac{k+1}{k-1}$，k∈N*，
即ln$\frac{k+1}{k}$＞$\frac{\frac{k+1}{k}-1}{\frac{k+1}{k}+1}$=$\frac{1}{2k+1}$，
∴ln（n+1）=ln$\frac{2}{1}$+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
即ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（1+n）-lnn＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，
即有ln（n+1）＞$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$，（n∈N*），
又$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$=a（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n+1}$），
f（n）=ln（1+n），
当0≤a≤1时，即有$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$＜f（n）；
当a＜0时，$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$＜f（n）；
当a＞1时，$g（1）+g（\frac{1}{2}）+g（\frac{1}{3}）+…+g（\frac{1}{n}）$与f（n）的大小关系不确定．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．