Question

已知函数y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）求该函数的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求该函数的单调递增区间．

Answer 1

（1）y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=

3

sin2x+（sin⁴x-cos⁴x）
=

3

sin2x+（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
则y_min=-2；…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
则kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-

π

6

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
与x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，

π

3

]或x∈[

5π

6

，π]，
则当x∈[0，π]时，函数的递增区间是x∈[0，

π

3

]和x∈[

5π

6

，π]．…（12分）