Question

若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的体积为4

3

π，则球心O到正方体的一个面ABCD的距离为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根据球的体积公式算出球的半径R=

3

，从而得到正方体的对角线长为2

3

，可得正方体的棱长为2．再由球心O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，得到点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，从而算出答案．

解答：解：设球O的半径为R，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于球O，
∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=

3

a．
又∵球O的体积为4

3

π，
∴V=

4π

3

•R3=4

3

π，解得R=

3

，
由此可得

3

a=2R=2

3

，解得a=2．
∵球O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，
∴点O是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，
可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=

1

2

a=1．
因此，球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．
故选：A

点评：本题给出正方体的外接球的体积，求球心到正方体一个面的距离．着重考查了正方体的性质、球的体积公式与球内接多面体等知识，属于基础题．