Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求导数，分a≥0和a＜0进行讨论根据导数的正负可得单调区间；
（2）分类讨论求得f（x）在（0，1]上的最大值，令其为1，可得a的值．

解答：解：（1）由题意可得函数f(x)=

1

2

ax2+lnx的定义域为（0，+∞）
由求导公式可得：f′(x)=ax+

1

x

=

ax2+1

x

当，f′（x）=

ax2+1

x

＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，令

ax2+1

x

＞0，可解得x＜

- 1 a

，即f（x）在（0，

- 1 a

）单调递增，
同理由

ax2+1

x

＜0，可解得x＞

- 1 a

，即f（x）在（

- 1 a

，+∞）单调递减．
（2）由（1）可知：若a≥0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=

1

2

a=-1，解得a=-2，与a≥0矛盾应舍去；
若0＜

- 1 a

≤1，即a≤-1，函数f（x）在（0，

- 1 a

）单调递增，在（

- 1 a

，+∞）单调递减．
故若

- 1 a

＞1，即-1＜a＜0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=

1

2

a=-1，解得a=-2，应舍去．
综上可得所求a的值为：-e

点评：本题为函数与导数的综合应用，正确的分类讨论是解决问题的关键，属中档题．