Question

已知函数f（x）=sinxcosx-cos²x+a，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x时，f（x）的最小值为1，求a的值，并指出这时x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角函数恒等变换，得f（x）=sinxcosx-cos²x+a=sin（2x-）-+a．由此能求出f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）由f（x）=sin（2x-）-+a，x∈[0，]，知2x-∈[-，]．由f（x）的最小值为1能求出a的值及此时的x值．
解答：（本题满分12分）
解：（1）∵f（x）=sinxcosx-cos²x+a
=-+a
=--+a
=sin（2x-）-+a．
∴f（x）的最小正周期T==π．
令2kπ-2kπ+，k∈Z，
得，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]．
∴当2x-=-，即x=0时，f（x）_min=-1+a=1，解得a=2．
此时，x=0．
点评：本题考查三角函数的周期和增区间的求法，考查当三角函数值取最小值时的a的值和x的值．解题时要认真审题，注意三角函数恒等式的合理运用．