Question

假设p、q都是奇数，求证：关于x的方程x²＋px＋q＝0无整数根.

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：只有在Δ＝p2－4q＝（p－m）2时((p－m)2表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm＋m2可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·－（）2，因p是奇数，不论是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根. 证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α2＋pα＋q为奇数，这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.