Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，且∠A₁AB=∠A₁AC，点A₁到底面ABC的距离等于点A₁到侧面B₁BCC₁的距离的2倍，则

AA1

AB

=

 

．

Answer 1

分析：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥侧面B₁BCC₁于E，根据∠A₁AB=∠A₁AC可知D在∠BAC的平分线上，根据△ABC是正三角形，进而可知AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，进而可知AA₁⊥BC，进而根据AA₁∥BB₁，推断BB₁⊥BC，分别以三角形为底，A₁D为高和面B₁BCC₁为底A₁E为高求得三棱柱的体积建立等式求得

BB1

BC

，进而求得答案．

解答：解：作A₁D⊥底面ABC于D，A₁E⊥侧面B₁BCC₁于E，
∵∠A₁AB=∠A₁AC
∴D在∠BAC的平分线上，
又∵△ABC是正三角形，
∴AD⊥BC，又A₁D⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC，又AA₁∥BB₁，BB₁⊥BC，
由题意得V=S_△ABC•A₁D=

3

4

BC²•2A₁E=

1

2

S_矩形B1BCC1•A₁E=

1

2

BC•BB₁•A₁EA
∴

BB1

BC

=

AA1

AB

=

3

故答案为

3

点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算．解题的关键是利用了体积法．体积法就是构造三棱锥，把点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用三棱锥的体积的不变性列方程求解．