Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．
AD=1， ，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC上， ，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB= ，
∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD
∴∠DBC=60°，BC=4，
由余弦定理得DC=2 ，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC内，∴BD⊥PC
（2）在底面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，
由（1）知BD⊥面PDC，∴ 就是面PDC的法向量，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），
设AB与面PDC所成角大小为θ，sinθ==，
∵θ∈（0，）∴θ=
（3）在（2）中的空间坐标系中A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a），
C（﹣3，，0），=（﹣3，，﹣a），=（﹣3λ，λ，﹣aλ），
=+=（0，0，a）+（﹣3λ，λ，﹣aλ）=（﹣3λ，λ，a﹣aλ）
=（0，，0），=（1，0，﹣a），
设=（x，y，z）为面PAB的法向量，
由=0，得y=0，
由=0，得x﹣az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），
由DE∥面PAB得：⊥，
∴=0，﹣3aλ+a﹣aλ=0，∴λ=