Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.

(1)求的取值范围；，

(2)若直线不经过点，求证：直线的斜率互为相反数.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，用待定系数法，先设出椭圆方程，根据焦距和椭圆过，解出，得到椭圆方程，由于直线与椭圆有2个交点，所以联立得到的关于的方程有2个不相等实根，所以利用求解；第二问，分析题意得只需证明，设出点坐标，利用第一问得出的关于的方程找到，将化简，把的结果代入即可得证.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，因为，所以，

又因为椭圆过点，所以，解得，故椭圆方程为.   3分

将代入并整理得，

，解得.         6分

（2）设直线的斜率分别为和，只要证明.

设，则，.        9分

，

分子

所以直线的斜率互为相反数.         12分

考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.