Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析：以B₁为坐标原点，建立空间坐标系，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，可求出各顶点的坐标
（1）分别求出AC与A₁D方向向量，代入向量夹角公式，可得AC与A₁D所成角的大小；
（2）要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．求出AB₁与C₁D的方向向量，通过证明向量平行，得到AB₁与C₁D平行，同理证明出AD₁与C₁B平行，可得结论．
（3）求出A₁C的方向向量，并证明A₁C的方向向量是平面BDC₁的法向量，可得A₁C⊥平面BDC₁．

解答：解：令正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以B₁为坐标原点，建立空间坐标系如下图所示：

（1）则A（0，1，1），C（1，0，1），A₁（0，1，0），D（1，1，1）
∴

AC

=（1，-1，0），

A1D

=（1，0，1）
设AC与A₁D所成角的大小为θ
则cosθ=

| AC • A1D |

| AC |•| A1D |

=

1

2

故θ=

π

3

证明：（2）∵

AB1

=

C1D

=（0，-1，-1）
∴AB₁∥C₁D，
又∵AB₁?平面AB₁D₁，C₁D?平面AB₁D₁，
∴C₁D∥平面AB₁D₁，
同理可证：C₁B∥平面AB₁D₁．
又C₁B∩C₁D=C₁，
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）

A1C

=（1，-1，1），

BD

=（1，1，0），

BC1

=（1，0，-1）
∴

A1C

•

BD

=0，即

A1C

⊥

BD

，即A₁C⊥BD
且

A1C

•

BC1

=0，即

A1C

⊥

BC1

，即A₁C⊥BC₁．
∵BD∩BC₁=B，BD，BC₁?平面BDC₁．
∴A₁C⊥平面BDC₁．

点评：第一问在使用传统方法证明时，必须强调一作二证三计算的步骤，第二问在证明线面平行时，一定要强调平面外和平面内的直线．