Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0；
（Ⅱ） 若f（x）在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式等价于 log_a （x+1）＞log_a （-x+1），分0＜a＜1和a＞1两种情况，分别求得不等式的解集．
（Ⅱ）（1）当0＜a＜1时，利用函数的单调性可得log_a2-log_a4=1，由此求得a的值．当 a＞1时，利用函数的单调性可得 log_a4-log_a2=1，由此求得a的值．综合可得结论．

解答：解：（Ⅰ）不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0 即  即 log_a （x+1）-log_a （-x+1）＞0，-
亦即 log_a （x+1）＞log_a （-x+1）…1分
（1）当0＜a＜1时，不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，解得-1＜x＜0…3分
（2）当a＞1时，上述不等式 

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得 0＜x＜1…5分
综上可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为（-1，0）； 当a＞1时，不等式的解集为（0，1）．
（Ⅱ）（1）当0＜a＜1时，
y=log_a x 在[2，4]上是减函数，故函数的最小值为f（1），最大值为f（2），
由题设得log_a2-log_a4=1，即 loga

1

2

=1，∴a=

1

2

…7分
（2）当 a＞1时，y=log_a x 在[2，4]上是增函数，故函数的最小值为f（2），最大值为f（4），
由题设得 log_a4-log_a2=1，即log_a2=1，∴a=2．
综上得 a=2 或a=

1

2

…9分．

点评：本题主要考查对数不等式的解法，函数的单调性的应用，体现了分类讨论、以及等价转化的数学思想，属于中档题