Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a＝（3，－1）共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。

Answer 1

（Ⅰ）解：设椭圆方程为=1（a>b>0）,F(c,0),

则直线AB的方程为y=x－c,

代入=1，化简得（a²+b²）x²－2a²cx+a²c²－a²b²=0.

令A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则         x₁+x₂=.

由=（x₁+x₂,y₁+y₂）,a=(3,－1), 与a共线，得3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0。

又y₁=x₁－c,y₂=x₂－c,                                        ∴3(x₁+x₂－2c)+(x₁+x₂)=0,       ∴x₁+x₂=.

即      所以a²=3b².

∴    c=,故离心率e=

(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知a²=3b²,所以椭圆=1可化为x²+3y²=3b².

设=(x,y),由已知得

（x,y）=(x₁,y₁)+μ(x₂,y₂),

        x= x₁+μx₂,

∴  y=y₁+μy₂

∴M(x,y)在椭圆上，∴（x₁+μx₂）²+3(y₁+μy₂)²=3b².

即   ²（x+3y）+μ²(x+3y)+2μ(x₁x₂+3y₁y₂)=3b².             ①

由（Ⅰ）知x₁+x₂=c，a²=c²，b²=c².

∴x₁x₂=

∴x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3(x₁－c)(x₂－c)

=4x₁x₂－3(x₁+x₂)c+3c²

=c²－c²+3c²

=0.

又x+3y=3b²,x+3y=3b²,代入①得²+μ²=1。

故²+μ²为定值，定值为1.