Question

如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=a,∠BAC=90°,D为棱B₁B的中点.

(1)证明A₁D⊥平面ADC;

(2)求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；

(3)求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小(仅考虑锐角的情况).

Answer 1

解法一：(1)证明：∵△A₁B₁D和△ABD都为等腰直角三角形，?

∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°.?

∴∠A₁DA=90°,即A₁D⊥AD.?

又∵?

?

CA⊥A₁D,?

∴A₁D⊥平面ADC.?

(2)解：连结AC₁交A₁C于E点，取AD中点F,连结EF、CF，则EF∥C₁D.?

∴∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角(或补角).?

EF=C₁D=a,CE=A₁C=a,CF=.?

在△CEF中，cos∠CEF=,?

∴∠CEF=arccos.?

则异面直线A₁C与C₁D所成角的大小为.??

(3)解：延长A₁D与AB延长线交于G点，连结CG,过A作AH⊥CG于H点，连结A₁H.?

∵A₁A⊥平面ABC,

∴A₁H⊥CG(三垂线定理).?

则∠A₁HA是二面角A₁CGA的平面角，即所求二面角的平面角.??

在直角三角形ACG中，?

∵AC=a,AG=2a, ∴CG=a.?

∴AH=.?

在直角三角形A₁AH中，?

tan∠A₁HA=,?

∴∠A₁HA=arctan,

即所求二面角的大小为arctan.??

解法二：向量法(略).