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函数f(x)=其中P,M为实数集R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断其中正确的序号为   
①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;   
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;  
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
【答案】分析:根据函数f(x)=,可借助两个函数y=x与y=-x图象来研究,分析可得答案.
解答:解:由题意知函数f(P)、f(M)的图象如图所示.
设P=[x2,+∞),M=(-∞,x1],
∵|x2|<|x1|,f(P)=[f(x2),+∞),f(M)=[f(x1),+∞),∴P∩M=∅.
而f(P)∩f(M)=[f(x1),+∞)≠∅,故①错误.
同理可知②正确.
设P=[x1,+∞),M=(-∞,x2],
∵|x2|<|x1|,则P∪M=R.
f(P)=[f(x1),+∞),f(M)=[f(x2),+∞),
f(P)∪f(M)=[f(x1),+∞)≠R,故③错误.
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.这是不对的
∵f(x)是函数,对于定义域内的值x,都有唯一确定的值与之对应.
∴在x∈P∩M的时候,x=-x,即x只能为0,
也就是说,P和M若有交集,则只能为{0}
若要让f(x)取到R上每一个点,就要求定义域在R上不能有遗漏,
∴P∪M≠R时,必定f(P)∪f(M)≠R,故④正确
故答案为:②④
点评:本题考查对题设条件的理解与转化能力,借助图形的直观来来帮助判断命题的正误,以形助数,是解题的关键.
练习册系列答案
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①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
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①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
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①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
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①若P∩M=∅,则f(P)∩f(M)=∅;
②若P∩M≠∅,则f(P)∩f(M)≠∅;
③若P∪M=R,则f(P)∪f(M)=R;
④若P∪M≠R,则f(P)∪f(M)≠R.
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