Question

已知函数 , .  

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程。

（Ⅱ）函数的递增区间为，递减区间为。

（Ⅲ）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，           1分

                            .2分

所以曲线在点处的切线方程            3分

（Ⅱ）     4分

当时，解，得，解，得

所以函数的递增区间为，递减区间为在            5分

时，令得或

ⅰ）当时，

x	)
f’(x)	+		-		+
f(x)	增		减		增

        6分

函数的递增区间为，，递减区间为        7分

ⅱ）当时， 

在上，在上                      8分

函数的递增区间为，递减区间为                9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，

所以，                                     11分

存在，使       即存在，使，

方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于 

所以有      即解得：        13分

方法二：将 整理得 

从而有所以的取值范围是.              13分

考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题。

点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。曲线切线的斜率，等于函数在切点处的导函数值。在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于0.